বিজ্ঞান ও প্রযুক্তি

যুক্তিবিজ্ঞান ও কিছু ঐতিহাসিক গাণিতিক সমস্যা : সংক্ষিপ্ত একটি পর্যালোচনা

সপ্তর্ষি চট্টোপাধ্যায়

যুক্তিবিজ্ঞান ও কিছু ঐতিহাসিক গাণিতিক সমস্যা : সংক্ষিপ্ত একটি পর্যালোচনা

সপ্তর্ষি চট্টোপাধ্যায়

গ্রীক মহাকাব্যের অন্যতম প্রধান চরিত্র অ্যাকিলিস মহাবীর হওয়ার পাশাপাশি একজন প্রখ্যাত দৌড়বীরও ছিলেন। 4000 খ্রিষ্টপূর্বে গ্রীক দার্শনিক জেনো এই অ্যাকিলিস ও এক কচ্ছপকে নিয়ে এক আপাতনিরীহ গল্পের মোড়কে এক আশ্চর্য গাণিতিক সমস্যা ফেঁদে বসলেন।তিনি বললেন যে যদি এদের মধ্যে এক দৌড় প্রতিযোগিতা হয় যাতে প্রাথমিক ভাবে কচ্ছপকে সামান্য এগিয়ে শুরু করতে দেওয়া হয়, তাহলে একটু অপ্রত্যাশিত এক ফলাফল পাওয়ার সম্ভাবনা বর্তমান।Achilles Paradox নামে খ্যাত এই সমস্যার সূত্রপাত হয় নিম্নলিখিত যুক্তিবিস্তারের মাধ্যমে।

ধরা যাক, প্রাথমিক ভাবে কচ্ছপটি অ্যাকিলিসের থেকে x একক দূরত্বে এগিয়ে ছিল। যেহেতু অ্যাকিলিস সন্দেহাতীত ভাবে কচ্ছপের থেকে দ্রুতবেগে ধাবমান, অতএব দূরত্বের ক্রমহ্রাস অনিবার্য। ধরি, কিছু সময়ের পর অ্যাকিলিস প্রাথমিক দূরত্বের অর্ধেক অতিক্রম করে ফেলল। অতএব দুজনের মধ্যের দূরত্ব কমে দাঁড়াল x/2 একক। একই ঘটনার পুনরাবৃত্তি ঘটে আরো খানিকক্ষণ বাদে দূরত্ব হল x/4 একক।পাঠক-পাঠিকাগণ হয়ত মজাটা ধরে ফেলেছেন। দূরত্ব কমতে কমতে ক্রমশ x/8, x/16, x/32,…., x/2n এককের মান গ্রহণ করবে এবং তা কখনই শূন্য হবে না, অর্থাৎ অশূন্য দূরত্ব সর্বদাই থাকবে এবং অ্যাকিলিস প্রাথমিক দূরত্ব কখনই পুরোপুরি অতিক্রম করতে পারবে না। অবাক হওয়ার মত ঘটনা বটে। প্রাত্যহিক অভিজ্ঞতার থেকে এত আলাদা একটা ফলাফল একেবারেই অপ্রত্যাশিত। এই হিসেবে ধরলে রাস্তা-ঘাটে ‘ওভারটেক’ একটি অসম্ভব পরিস্থিতি। কিন্তু উপরোক্ত ব্যাখ্যাটিও যুক্তিযুক্ত। গণ্ডগোলটা কোথায় ? বিখ্যাত গ্রীক দার্শনিক অ্যারিস্টটল পরে এর এক গ্রহণযোগ্য ব্যাখ্যা দেন। Topology বলে গণিতের একটি শাখার সাহায্যেও এর যুক্তিগ্রাহ্য ব্যাখ্যা সম্ভব। ব্যাখ্যাগুলিতে ‘Points on the continuum’-এর ধারনা একটি গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।ও প্রসঙ্গের বিস্তারিত আলোচনা এখন থাক। এখানে যেটা লক্ষণীয় সেটা হল যুক্তিবিস্তারের সাহায্যে কিভাবে এক আপাত-অসম্ভব পরিস্থিতিতে একটি বিশ্বাসযোগ্য রূপ দেওয়া সম্ভব। গণিতশাস্ত্রে এই গল্পের সাহায্যে একাধিক প্রসঙ্গের (অসীম, কলনবিদ্যা(Calculus)) অবতারণা ও আলোচনা করা যেতে পারে।

ছাত্রাবস্থায় গণিতের সঙ্গে আমাদের পরিচিতিলাভ এক অনিবার্য ঘটনা। স্বর্গীয় শ্রী কেশবচন্দ্র নাগ মহাশয়ের তৈলাক্ত বাঁশ ও নাছোড়বান্দা বাঁদরছানা বা খোলা কল ও নলওয়ালা চৌবাচ্চা বেশিরভাগ ক্ষেত্রেই মনের শান্তি নষ্ট করার ব্যাপারে এক প্রত্যক্ষ ভূমিকা পালন করে। কিন্তু তা সত্ত্বেও গণিতের অনন্য আকর্ষণ অনস্বীকার্য। পারা না পারা পরের ব্যাপার, কিন্তু গণিতে ব্যুৎপত্তি বন্ধু তথা আত্মীয়মহলে বাড়তি সমীহ আদায়ে বিশেষভাবে সহায়ক। কিন্তু কেন ? সাহিত্য যেমন মানুষের সৌন্দর্যবোধকে পরিণত করে, তার সুকোমল প্রবৃত্তিগুলোকে লালন করে, গণিতের সেরকম অবদান কি ? গ্যালিলিওর কথায়, “Mathematics is the language with which God wrote the universe.” গণিত সম্ভবত মানুষের যুক্তিবোধকে শাণিত করে তোলে। জ্ঞানত বা অজ্ঞানত গণিতের বিভিন্ন শাখার চর্চার মাধ্যমে একজন ছাত্রের প্রাথমিক যুক্তি্বোধ গড়ে ওঠে।

এই ধারণার বীজ লুকিয়ে আছে মানবসভ্যতার ক্রমবিবর্তনের ইতিহাসের গভীরে। সংখ্যাতত্ত্বের প্রাথমিক ধারনালাভ মানবসভ্যতার অন্যতম ভিত্তিস্থাপক মাইলফলক। আমাদের পূর্বপুরুষেরা লক্ষ্য করেছিলেন যে প্রকৃতির পরিবর্তনগুলি কিন্তু এলোমেলো নয়, বরং তা কিছু নিয়মের বশবর্তী। এই নিয়মগুলিই গাণিতিক ভাষার সাহায্যে স্পষ্ট ও বোধগম্য হয়ে ওঠে। উদাহরণস্বরূপ, নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রের মত এক যুগান্তকারী বিরাট ধারণা গাণিতিক পরিভাষায় F=Gm1m2/r2-এর মত এক সরল রূপে আমাদের সামনে অবতীর্ণ হয়।

লক্ষণীয় বিষয় এটাও যে গণিতের এই মেলবন্ধনের দিকটির সঙ্গে পরিচিত হওয়ার জন্য কোনো বিশেষজ্ঞ হওয়ার প্রয়োজন নেই। অত্যন্ত তৃণমূল স্তরের গণিত আয়ত্ত করতেও কিন্তু তীক্ষ্ণ যুক্তিবোধের প্রয়োজন। একটি উদাহরণ দেওয়া যাক। কিছুদিন আগে একটি শিশু আমার কাছে সংখ্যারেখার সাহায্যে যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগের ব্যাখ্যা বুঝছিল। 4 কে 3 দিয়ে গুণ করে কিভাবে 12 পাই বা 20 কে 5 দিয়ে ভাগ করে কিভাবে 4 পাই, তার অত্যন্ত সুন্দর ব্যাখ্যা দেওয়া যায় এই সংখ্যারেখার সাহায্যে। এরপরই, দুটি ঋণাত্মক সংখ্যাকে গুণ করে কিভাবে একটি ধনাত্মক সংখ্যা পাই, তার ব্যাখ্যা চায় সেই শিশু। সেই মুহূর্তে, ওইটুকু শিশুকে শুধুমাত্র সংখ্যারেখার সাহায্যে কিভাবে তা বোঝাব তা কিন্তু ভেবে উঠতে পারিনি। মজাটা এইখানেই। গণিতের কোন আপাতনিরীহ প্রশ্নে কে কখন কুপোকাত হবে তা বলা অসম্ভব। আবার, একটি ঘটনার ফলাফল কতটা অপ্রত্যাশিত হতে পারে, এবং যুক্তির সাহায্যে কিভাবে তার ব্যাখ্যা দেওয়া যায়, তার একটি উদাহরণ দিতে বিশ্বভারতী কর্তৃক প্রকাশিত একটি গ্রন্থ থেকে উদ্ধৃতি দেওয়া যেতে পারে। “শুধু তীক্ষ্ণ যুক্তির প্রয়োগে যে কি আশ্চর্য ফল পাওয়া যায় সে সম্বন্ধে একটি মজার গল্প আছে। দুজন ভদ্রলোক দাবা খেলছিলেন। খেলা সবে শেষ হয়েছে এমন সময় তাঁদের একজনের একটি ছোট্ট মেয়ে ঘরে এসে ঢুকল। অপর খেলোয়াড়টি তখন মেয়েটিকে কাসাব্লাঙ্কা গল্প শোনালেন। কেমন করে চার বৎসর বয়সে কাসাব্লাঙ্কা শুধু খেলা দেখে দেখে দাবা শিখেছিলেন ও তাঁর বাবার খেলার ভুল ধরেছিলেন এবং পরে তিনি কেমন করে একসঙ্গে একটির বেশি শতরঞ্চে প্রতিদ্বন্দ্বীতা করতে পারতেন, এই সব কথা মেয়েটিকে শুনিয়ে খুব উৎসাহের সঙ্গে তাকে দাবার চাল ও নিয়ম শেখাতে আরম্ভ করলেন। মেয়েটি কিন্তু একটা অদ্ভুত কথা বলে বসল। সে বললো, “যদিও আমি দাবা খেলতে জানি না, তবু আপনাদের দুজনের সাথে আমি একসঙ্গে খেলব- একটা ছকে আমি সাদা ঘুঁটি নেব আর অন্য ছকে নেব কালো, এবং হয় দুজনের সঙ্গে খেলা অমীমাংসিত রাখব, না হয় একজনকে হারাব।” এই অদ্ভুত কথায় দুজন ভদ্রলোকই হেসে উঠলেন। মেয়েটি কিন্তু বারবার বলতে লাগল যে, এ সে করতে পারবেই; তাঁরা একবার তাকে পরীক্ষা করে দেখুন। অগত্যা ভদ্রলোক দুজন মেয়েটির কথায় রাজি হলেন। মেয়েটি তার কথা রাখতে পেরেছিল।

কী করে এটা সম্ভব হল?
তার কারণ মেয়েটি দাবা খেলতে না জানলেও তার ছিল তীক্ষ্ণ বুদ্ধি। প্রথমে, তার সাদার প্রতিদ্বন্দ্বী যে চাল দিলেন কালোর প্রতিদ্বন্দ্বীর কাছে সে নিজেই সে চাল দিল এবং কালোর প্রতিদ্বন্দ্বীর চাল দিল সাদার প্রতিদ্বন্দ্বীকে ফিরিয়ে। এমনি করে আসল খেলাটি হল তার প্রতিদ্বন্দ্বীদ্বয়ের মধ্যে, মেয়েটি কার্যত দূতের কাজ করল মাত্র। সুতরাং একজনের কাছে সে হারলে অন্যের কাছে জিতবেই এবং খেলা অমীমাংসিত থাকলে দুজনের সঙ্গে তা হবে।” এই পর্যন্ত পৌঁছে এই সিদ্ধান্তে কিন্তু কখনই পৌছনো যাবে না যে গণিতজ্ঞরা ঐশ্বরিক যুক্তিক্ষমতার দ্বারা প্রভূত অসাধ্যসাধন করতে পারে। প্রকৃতক্ষেত্রে অনেকসময়েই তার উল্টোটাই ঘটতে দেখি।

হলিউড চলচ্চিত্র “A beautiful mind”-এর কল্যাণে গণিতজ্ঞ জন ন্যাশ আজ এক অতি পরিচিত নাম। জীবনের সায়াহ্নে পৌঁছে যদিও উনি নিজের প্রতিভার প্রতি সুবিচার করতে পেরেছিলেন, কিন্তু তার আগে ওনার জীবনের অনেকটাই কাটে উন্মাদাশ্রমের গরাদের পেছনে। এও এক ট্র্যাজিক কমেডি। গণিতের বহু সমস্যার সমাধান আজো হয়নি। এর মধ্যে আবার অনেকগুলিরই ভাষা এতটাই ধরাছোঁয়ার মধ্যে যে পঞ্চম শ্রেণীর গণিতের জ্ঞান দিয়েও সমস্যাটি অন্তত বোঝা যায়। কিন্তু তার সমাধান ? নৈব নৈব চ। এরকম বহু সমস্যার সমাধান করতে গিয়ে বহু গণিতজ্ঞর সারা জীবন কেটে গিয়েছে। কেউ হারিয়েছেন মানসিক সুস্থিরতা, কেউ বা পরিবার-পরিজন। অথচ এরকম অনেক দুর্বোধ্য সমস্যাই তার গঠনশৈলীর কল্যাণে সাধারণের বোধগম্য। গোল্ডবাখ্’স কঞ্জেকচার (Goldbach’s conjecture ) এরকমই এক বহুলপ্রচলিত সমস্যা। এটিতে বলা হয়েছে যে 2-এর অধিক কোনো যুগ্ম সংখ্যা সর্বদাই দুটি মৌলিক সংখ্যার যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যাবে। অতি সহজবোধ্য একটি পর্যবেক্ষণ। ধরা যাক, 8। 8 একটি যুগ্মসংখ্যা যাকে আমরা দুটি মৌলিক সংখ্যা 5 ও 3-এর যোগফল হিসেবে প্রকাশ করতে পারি। অনুরূপে, 12=7+5, 20=13+7, ইত্যাদি। আপাতদৃষ্টিতে উদাহরণ দিয়ে বোঝানো সহজ হলেও উদাহরণ কিন্তু কোনো ক্ষেত্রেই গণিতে প্রমাণ হিসেবে গণ্য করা হয় না। এই সমস্যা তাই আজো সমাধানহীন। আরেকটি ততোধিক বিখ্যাত ও মজার গাণিতিক সমস্যার নাম ‘ফার্মার শেষ উপপাদ্য’ (Fermat’s last theorem)। পিয়ের দ্য ফার্মা 1637 খ্রিষ্টাব্দে বইয়ের মার্জিনে এই উপপাদ্য লেখেন এবং সেখানে দাবী করেন যে সহজ প্রমাণটি স্থানাভাবে উনি লিখতে পারছেন না। কী সেই উপপাদ্য?
2-এর অধিক মানযুক্ত n এর জন্য, an + bn = cn ,যেখানে a,b,c তিনটি ধনাত্মক সংখ্যা, এরূপ সমীকরণের কোনো সমাধান থাকবে না। একটু ব্যাখ্যা দেওয়া যাক। x2 + y2 = 25 সমীকরণটি x=3 ও y=4 এর জন্য সত্য। একইভাবে x2 + y2 = 100 সমীকরণটিতে x=6 ও y=8 বসানো যায়। কিন্তু সমীকরণটি একটু পালটে ঘাতের মান 2-এর অধিক, যথা 3 করে দিলে, সমীকরণটি x3 + y3 = z3-এর আকার নেয়, যার কোনো সমাধান পাওয়া যাবে না। সুপার কম্পিউটারের সাহায্যে অনেক বড়ো সংখ্যা দিয়ে এই সমীকরণটি পরীক্ষিত হলেও, এর উপযুক্ত প্রমাণের জন্য আমাদের 1995 খ্রিষ্টাব্দ অব্ধি , অর্থাৎ সাড়ে তিনশো বছরের বেশী অপেক্ষা করতে হয় যখন মূলত এন্ড্রিউ ওয়াইলশ (Andrew Wiles)-এর কৃতিত্বে এর সমাধান হয়।
ধন্য ফার্মা-বাবুর সহজ প্রমাণ-সংক্রান্ত কৌতুকরসবোধ। প্রসঙ্গত উল্লেখ করা যেতে পারে যে এই ওয়াইলশেরই সুযোগ্য ছাত্র শ্রী ঋতব্রত মুন্সী,(ভারতে বিজ্ঞান-বিষয়ক সর্বোচ্চ সম্মান স্বরূপ ভাটনগর পুরস্কারপ্রাপ্ত) রিম্যান হাইপথিসিস (Riemann Hypothesis) প্রমাণ করার ক্ষেত্রে উল্লেখযোগ্য অবদান রেখে চলেছেন।
যেহেতু আজকের আলোচনার সূত্রপাত হয়েছিল একটি সমস্যার হাত ধরে, তাই এটির মধুরেণ সমাপয়েৎ হোক আরেকটি আপাতনিরীহ সমস্যা দিয়েই। এর প্রারম্ভে গণিত ও ইতিহাস মিলেমিশে একাকার।

কথিত আছে, পুরাকালে ডেলোজ-এর বাসিন্দারা ডেল্ফি-এর ঐশ্বরিক ক্ষমতাযুক্ত ভবিষ্যতদ্রষ্টার শরণাপন্ন হন। সম্ভাব্য কারণের দুটি মতামত আছে। একটি সূত্রের বক্তব্য হল যে শহরের প্লেগের মহামারীকে অ্যাপোলোর অভিশাপ হিসাবে ধরে নিয়ে দেবতাকে তুষ্ট করার কারণ জানতে চেয়েছিলেন তাঁরা। দ্বিতীয় এবং অপেক্ষাকৃত জোরালো মতবাদটি হল যে নাগরিকদের অভ্যন্তরীণ রাজনৈতিক মতপার্থক্যের কারণে রাজ্যের বৃহত্তর স্বার্থ ক্ষুণ্ণ হওয়ায় চিন্তিত বাসিন্দারা প্রতিকারের আশা নিয়ে সেখানে আসেন। সে যাই হোক, তাঁরা একটি অত্যন্ত তাৎপর্যপূর্ণ সমাধান পান। জানা যায়, অ্যাপোলোকে খুশী করতে হলে, শহরে অবস্থিত যে ঘনকাকৃতি বেদীতে শহরবাসীরা দেবতাকে উপহারসামগ্রী উৎসর্গ করেন, তার আয়তন দ্বিগুণ করতে হবে। মজার শুরু এখানে। আপাতদৃষ্টিতে ব্যাপারটি অত্যন্ত সাধারণ মনে হলেও এর পেছনে আছে এক অসাধ্যসাধন করার সমস্যা। বিশদ ব্যাখ্যায় আসছি। তার আগে বলি ডেলজের সেই বাসিন্দাদের বাকি গল্প। তাঁরা সমস্যার গুরুত্ব বুঝে তৎকালীন বিখ্যাত গণিতজ্ঞ ও চিন্তাবিদ প্লেটোর শরণাপন্ন হন। প্লেটো ও তার শিষ্যরা অনেক কসরত করেও এই সমস্যার কোনো জ্যামিতিক সমাধান বার করতে অক্ষম হন। প্রসঙ্গত উল্লেখ্য যে শুধু কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে এর কোনো জ্যামিতিক প্রমাণ আজো পাওয়া যায়নি। প্লেটো এর প্রত্যক্ষ সমাধান না পারলেও ভবিষ্যতবাণীর গাণিতিক নির্যাসটুকু কিন্তু ছেঁকে নিতে পেরেছিলেন। আর পেরেছিলেন শহরবাসীকে এটা বোঝাতে যে অ্যাপোলোর আদেশানুসারে তাঁরা যেন অকারণ সমস্যায় নিজেদের জর্জরিত না করে গণিত তথা যুক্তিবিদ্যার আরাধনায় নিজেদের ব্যাপৃত রাখেন।
এইবার আসি সমস্যার ব্যখ্যা প্রসঙ্গে। ধরা যাক ‘a’ একক বাহুবিশিষ্ট একটি ঘনক আছে। তাহলে তার আয়তন হবে a3 ঘন একক। যদি এর আয়তন দ্বিগুণ করতে হয়, তাহলে নতুন আয়তন হতে হবে 2a3 ঘন একক। সেক্ষেত্রে প্রতিটি বাহুর নতুন দৈর্ঘ্য হতে হবে 21/3a একক। বলা বাহুল্য যে 21/3 এর মত একটি জটিল অমূলদ সংখ্যার পরিমাপ কম্পাস ও স্কেলের সাহায্যে করা দুঃসাধ্য ব্যাপার।
এইভাবেই মানবসভ্যতার ক্রমবিকাশের বিভিন্ন সময়ের স্বাক্ষর বহন করে অগ্রগতির সাক্ষী থেকেছে বিভিন্ন গাণিতিক সমস্যা। একটি সভ্যতার একটি বিশেষ সময়ের প্রগতির অন্যতম মানদণ্ড হিসেবে বিবেচিত হয়ে এসেছে তদানীন্তন গাণিতিক বিকাশের লেখচিত্র। তাই সুনিশ্চিত ভাবে বলা যেতে পারে যে সময়ের কষ্টিপাথরে মানবসভ্যতার বিকাশের অন্যতম প্রধান মাপকাঠি হয়ে চিরকাল বিবেচিত হবে এই আশ্চর্য বিষয় সম্পর্কে তার প্রগতি ও ব্যুৎপত্তি।

কৃতজ্ঞতা স্বীকার:

https://en.HYPERLINK “https://en.wikipedia.org/”wikipediaHYPERLINK “https://en.wikipedia.org/”.org/

https://www.wolfram.com/mathematica/

গণিতবিদ্যা (বিশ্ববিদ্যাসংগ্রহ): বিশ্বভারতী

Tags
Show More

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

error: Content is protected !!
Close
Bitnami